Kümeler konusu Geniş Anlatım - 6. Sınıf Matematik

» Kümeler konusu Geniş Anlatım - 6. Sınıf Matematik

Yayınlanma Zamanı: 2009-02-22 14:12:01



Sponsorlu Bağlantılar
 

KÜME

 

Günlük yaşantımızda çevremizde canlı ya da cansız bir çok varlık ile işaret ve sembol görmekteyiz.

İşte bu canlı ve cansız varlıklar ile çeşitli sembol ve işaretlerin oluşturduğu topluluğa küme diyoruz.

Kümeyi oluşturan varlıkların her birine de eleman denir.

“Δ işaretiyle gösterilir.

Küme olma şartları

Kümenin elemanları tekrar edilmemelidir.

Kümeyi belirten elemanlar iyi tanımlanmalıdır.

* Kümeler alfabemizin büyük harfleriyle gösterilir.

Eleman:

Kümeyi oluşturan varlık, şekil ve sembollere kümenin elemanı denir.

Eleman “Δ işaretiyle gösterilir.

D. .d d ÎD (d elemanıdır D kümesinin) .u .h u Î D (u elemanıdır D kümesinin)

.g .y y Î D (y elemanıdır D kümesinin)

.a g Î D ( g elemanıdır D kümesinin)

h Ï D ( h elemanıdır D kümesinin)

a Ï D (a elemanıdır D kümesinin) A= { x, {y,z}, {t}, z} kümesi için

 

 

 

 

 

 

 

 

Örnek:

{y,z} ÎA z Î A yÏA t Ï A

{t} Î A x Î A {z} Ï {x} Ï A

ifadelerini yazabiliriz. A kümesi 4 elemanlıdır. s (A) = 4

Kümelerin Gösterilişi Ve Biçimleri:

Liste Yöntemiyle Gösterilmesi:

 

Kümenin elemanlarının bir parantez içerisinde aralarına virgül konarak gösterilmesine, kümenin liste yöntemiyle gösterilmesi denir. { } işaretleriyle gösterilir. Bu sembole küme parantezi denir.

D = { h,a,l,ı,a.r} s(D) = 5 , A = { ş, a,n, { d,a}, I,y,e}

s (A) = 7 gibi.

2) Venn Şeması ile Gösterme

Kümeyi oluşturan varlık, resim ya da şekillerin kapalı bir eğri içerisinde gösterilmesine kümenin venn şeması ile gösterilmesi denir.

Örnek 1 :

D. a Î D à “a” elemanıdır D kümesinin.

b. r Î D à “r” elemanıdır D kümesinin.

.a .r k Î D à “k” elemanıdır D kümesinin.

.d .ş d ÎDà “d” elemanıdır D kümesinin. .k .h ş ÎDà “ş” elemanıdır D kümesinin.

b ÏD à “b” elemanı değildir D kümesinin.

h ÏD à “h” elemanı değildir D kümesinin.

H.

.çanta

.kalem s (H) = 4

. silgi

. cetvel

 

3) Ortak Özellik Yöntemi ile Gösterilmesi:

Kümeye ait elemanların ortak özelliklerinin, bir küme parantezi içinde gösterilmesine kümenin ortak özellik yöntemi ile gösterilmesi denir.

Örnek:

H= {Pazar, Pazartesi, Perşembe} ise

H = {Haftanın “p” harfi ile başlayan günleri}’dir.

C = { 6,7,8,9,10,11} ise

C = { 5 ile 12 arasındaki doğal sayılar}

A.

 

. Duygu

. Derya A = { "d" harfi ile başlayan isimler}

. Deniz

 

 

BOŞ KÜME

Elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

{ } veya Æ sembolüyle gösterilir.

Örnek1

A= Æ , A = { } , A

Örnek2 :

C = 100’den küçük 3 basamaklı sayılar

100’den küçük 3 basamaklı sayılar olmadığı için;

C= Æ D= 7. sınıfa giden 20 yaşındaki öğrenciler ise D = { }

Örnek 4 :

K = F ile başlayan aylar

F ile başlayan aylar olmadığı için K = Æ L = Haftanın “m” harfi ile başlayan günleri ise

L = { } ya da L = Æ

 

 

 

 

KÜMELERİN KARŞILAŞTIRILMASI

1) Eşit Kümeler:

Elemanları ve eleman sayıları aynı olan kümelere eşit kümeler denir. A ve B kümeleri eşit ise A = B biçiminde gösterilir.

 

.a .d

.c .b .b .c

.d .a

 

s (C) = 4 S(D) = 4

 

C = D (C kümesi eşittir D kümesine A = {O , D, €, ◊, ☼} s (A) = 5

 

 

 

 

Örnek 2 :

B = {☼, D,O, €, ◊ } {A = B

s (B) = 5

(A kümesi B kümesine eşittir.

Elemanları birebir eşlenebilen kümelere denk kümeler denir. A kümesi B kümesine denk ise A º B biçiminde gösterilir.

Örnek:

.1 .5 .a

.2 .3 .c .b

.4 .d .e

 

 

s (C ) = 5 s ( D) Buna göre;

A º B (A kümesi B kümesine denktir.

*Uyarı:* Denk kümelerin eleman sayıları eşittir.

Eşit kümeler aynı zamanda denk olan kümelerdir. Denk kümeler eşit küme olmayabilirler. Her küme kendisine eşittir. Her küme kendisine denktir.

Denk olmayan kümeler º işareti ile gösterilir.

P. R.

.a .d

.b .c .c

.d .b

.a

S (P) = 4 S (R) = 4

A = B, A ºB

Örnek3:

K= { ☼, D, Ÿ}

K º L (K kümesi L kümesine denk değildir.)

L = { ☼, D, O }

3) Ayrık Kümeler

Ortak elemanları yani kesişimleri olmayan kümelere ayrık kümeler denir.

C. D.

.a .e

.c .b .g .f

.d .h

C ∩ D = Æ olduğu için; c kümesi ile D kümesi ayrık kümelerdir.

A = {1,2,3,4} S (A) = 4

B = {a,b,c,d} S (B) = 4

A ∩ B = Æ bunun için A ile B hem ayrık, hem de denk kümedir.

 

.☼ .O K ∩L = Ÿ olduğu için K ile L ayrık küme

.€ değillerdir.

.D .☼

Y. Z.

 

.çanta .silgi

.kalem . defter

 

Y ∩ Z = Æ dir.

Y ile Z kümeleri ayrık kümelerdir.

 

ALT KÜME (Küme Parçası)

A ve B iki küme olsun. A kümesinin bütün elemanları B kümesinin elemanları ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir ve A Ì B şeklinde gösterilir.

 

 

 

 

 

 

Örnek:

A Ì B B. A.

alt kapsayan .c .b .d

küme küme ..a

 

 

“A kümesi B kümesinin alt kümesidir” veya “B kümesi kapsar , A kümesini” denir.

Alt Kümenin Özellikleri

A Ì B ve B Ì C à A Ì C’dir.

olur.

Örnek: 1

A = { a,b,c} kümesinin alt kümesini yazınız.

0 elemanlı

1 elemanlı

2 elemanlı

3 elemanlı

 

{ }

{0}

{b}

{c}

{a,b}

{b,c}

{b,c}

 

{a,b,c}

Alt küme sayısı = 8’dir.

Alt küme sayısı 128 olan küme kaç elemanlıdır?

2n = 128 128 2

64 2

2n = 27 à n = 7’dir. 32 2

16 2

(7 elemanlıdır) 8 2 7 tane elemanı var.

4 2

2 2

1 2

Örnek3:

Alt küme sayısı 1 olan küme kaç elemanlıdır?

2n = 1’dir.

2n = 2n (2n = 1’dir.)

n = 0 bulunur.

n = 0 ise kümenin elemanı yoktur. Yani bu küme Æ’dir.

UYARI:

Boş kümenin alt küme sayısı 1’dir.

Öz Alt Küme:

Bir kümenin kendisinden farklı olan alt kümelerine bu kümenin öz alt kümeleri denir.

Örnek:

D = { 1,2,3} ise öz alt kümeleri;

{ }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {3,2} olur.

 

Örnekler:

1) 7 elemanlı kümenin öz alt kümeleri kaç tanedir? n = 7 ise öz alt küme sayısı

27 = 128 – 1 = 127 ‘dir.

 

 

 

 

 

 

Çözüm:

2) Öz alt küme sayısı 63 olan kümenin, eleman sayısı kaçtır?

2n- 1= 63 à 2n = 64 à 2n = 26

n à 6

3) Boş kümenin öz alt kümesi kaçtır?

Bir kümenin öz alt kümesinin kendisinden farklı olması gerekir. Oysa boş kümenin yalnız bir alt kümesi vardır. Ve o da kendisidir. O halde boş kümenin öz alt kümesi yoktur. Dolayısı ile sayısı da yoktur. Boş kümenin öz alt kümesi yoktur.

KÜMELERDE KESİŞİM:

İki veya daha fazla kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye kesişim kümesi denir ve “∩” işareti ile gösterilir. A = {2,3,5}, B = {1,4,6,3} ise A ∩ B şema ile göster.

A. B.

.2 .1

.5 3 .2 A ∩ B = 3

.6 s (A ∩ B) = 1

A ∩ B

Kesişimin Özellikleri:

Bir kümenin kendisi ile kesişimi kendisini verir.

A ∩ A = A

Boş kümenin bir küme ile kesişimi, boş kümedir.

Æ ∩ B = Æ (Æ, ∩ işleminde yutan elemandır.)

Kesişimin değişme özelliği vardır.

A ∩B = B ∩ A

Kesişimin birleşme özelliği vardır.

(C ∩ D) ∩ B = C ∩ (D ∩ B)

A Ì B ise A kümesi keşsim kümesidir.

A Ì B à A ∩ B = A’dır.

A ve b ayrık kümeler ise

A ve B = Æ

A. B. C. D. E.

 

C

 

A∩C B∩C A∩B C ∩ D D ∩ E

C ∩ E =Æ

C. .U

D C ∩ D = 6

.6 C ∩ D = D

 

.8 C ∩ D

 

A ∩ C

 

C A C

 

 

D

C ∩ D A ∩ D A ∩ C

 

A∩C∩D

A

A B

 

D A∩D

 

D∩C (A ∩B) U (A∩C)

 

C C

1) C = {☼, D, €, O, ◊ }, D = {☼,€, D} ise C ∩D = ?

Cevap:

C kümesi D kümesini kapsadığı için;

C ∩D = D yani C ∩D = {☼,€, D} olur.

KÜMELERDE BİRLEŞİM:

İki veya daha fazla kümenin tüm elemanlarının meydana getirdiği yeni kümeye birleşim kümesi denir ve “U” işareti ile gösterilir.

C = {1, 2, 3}, D = {4, 5, 6, 3} ise AUB =?

Çözüm:

C D

.1 .4

.3 .5

.2 .6

 

C U D = {1,2,3,4,5,6}

Birleşimin Özellikleri:

Bir kümenin kendisi ile birleşimini verir.

A U A = A

Bir kümenin boş küme ile birleşimi kümenin kendisini verir.

C U Æ = C (Æ, U işleminde etkisiz elemandır.

Birleşimin değişme özelliği vardır.

C U D = D U C

Birleşimin birleşme özelliği vardır.

(A U C) U D = A U (C U D)

A Ì B à A U B = B’dir.

A U B = Æ ise A = Æ ve B = Æ’dir.

Kesişim işleminin, birleşim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

A ∩ ( B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

Birleşim işleminin, kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

A U (B ∩ C) = A U B) ∩ (A U C)

Örnekler:

K L M

 

 

 

K U L U M

 

B A C

B U D B

 

C D

 

B U D A U B

 

C U D

 

C D C D

.1 .5 .7

C U D .2.. .4 . .6

.3 .8

 

 

C U D = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

1) Bir sınıfta İngilizce bilenler 32, almanca bilenler 28, Almanca ve İngilizce bilenler 16 kişidir. Hiçbirini bilmeyen öğrenci sayısı ise 4’tür.

Buna göre sınıf mevcudu kaçtır?

a) 36 b) 40 c) 48 d) 52

Çözüm:

İngilizce bilenlerin kümesi İ, Almanca bilenlerin kümesi A sınıftakilerin kümesi de S olsun.

S

 

İ A

16 16 12

4

 

s (İUA) = s (İ) +s (A) –s (İ∩A)

s (İUA) = 32 + 18 -16

s (İUA) = 44

Sınıf mevcudu = 44 + 4 = 48’dir. = 48à C seçeneği

KESİŞİM VE BİRLEŞİM İŞLEMLERİNİN ÖZELLİKLERİ

1) Değişme özelliği

C D

.a .d

.c

.b .e

 

C ∩D = {c}

C∩D = D∩C

D∩C = {c}

 

Değişme Özelliği

 

 

 

2) Birleşim özelliği

B. C. B. C.

.1 .3 .5 .1 .5

.3

.2 .4 .6 .2 14 .6

 

.7 D

(BUB) (CUB) UD

C. B. C.

.3

.1 .3 .5

.4 .5 .2 .6 .4

.2 .6

.7

D. .7 D

(CUD) BU(CUD)

 

(BUC) UD = B U (CUD)

KÜMELERDE FARK İŞLEMİ

A ve B iki küme olsun. A kümesinin de bulunup B kümesinde bulunmayan elemanların oluşturduğu kümeye “A Fark B kümesi” denir. Bu iki kümenin farkı “A/B” ya da “A-B” biçiminde gösterilir.

 

 

 

 

 

 

 

Cevap

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Örnek:

 

 

 

 

 

 

Örnekler:

 

 

 

 

 

 

 

 

Örnek:

 

 

 

UYARI:

Çözüm:

Çözüm:

Çözüm:

Çözüm:

Örnek 2:

Çözüm

Her küme kendisini kapsar. ( C É D)

Her küme kendisinin alt kümesidir.

Boş küme her kümenin alt kümesidir. (Æ É A)

Birbirini kapsayan iki küme eşittir.

A kümesi B kümesinin, B kümesi de C kümesinin alt kümesi ise A kümesi C kümesinin de alt kümesidir.

 

A = {a, b} , B = {a,b,c,d} ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir.

 

 

 

Örnek 4:

 

 

 

 

 

Örnek 3:

Örnek 2:

Örnek1:

 

 

 

 

Örnek 2:

D.

 

2) Denk Kümeler:

Örnek :

Örnek 5:

Örnek 3 :

: A = Uçan filler

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Örnek 2:

 

 

Örnek :

 

Örnek:

 

 


Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...